Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа средняя энергия. Экзамен: Повторим термодинамику (Тепловые явления)
Внутренняя энергия тела равна сумме кинетической энергии поступательного и вращательного движения молекул этого тела, и потенциальной энергии их взаимного расположения
. (12.23)
Внутренняя энергия газа складывается из энергии отдельных молекул. В одном киломоле любого газа содержится N А молекул (N А - число Авогадро). Следовательно, один киломоль идеального газа имеет внутреннюю энергию, равную
(12.24)
Внутренняя энергия произвольной массы газа m
(12.25)
где m - молярная масса газа.
Таким образом, внутренняя энергия идеального газа зависит только от его объёма и давления .
Пользуясь понятием внутренней энергии газа, найдём выражение для его теплоёмкостей.
Теплоемкость это физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить веществу для нагревания его на один градус.
Удельной теплоёмкостью "c" газа называется физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить единице массы газа для нагревания её на один градус.
Кроме удельной теплоёмкости для газов вводится понятие молярной теплоёмкости.
Молярной теплоёмкостью "C" называется физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить одному молю газа, чтобы увеличить его температуру на один градус
Для газов вводятся в рассмотрение молярные теплоемкости при постоянном объёме "C v " и при постоянном давлении "C p ".
Если газ нагревается при постоянном объёме, то подводимое к газу тепло идёт на увеличение его внутренней энергии. Следовательно, в этом случае изменение внутренней энергии газа при нагревании его на один градус будет равно молярной теплоёмкости
, т.е. 
(12.27)
Таким образом, для определения C v необходимо знать число степеней свободы молекул газа.
При нагревании одного моля газа в условиях постоянного давления сообщаемое ему извне тепло идёт не только на увеличение его внутренней энергии, но и на совершение работы против внешних сил. Следовательно,
(12.28)
Работа, совершаемая по свободному расширению одного моля газа в цилиндре под поршнем равна
где S h = DV - увеличение первоначального объёма при нагревании газа на один градус (DV = V 2 - V 1).
На основании уравнения Менделеева - Клапейрона для одного моля идеального газа .
В нашем случае, где T 2 = T 1 + 1, т.е. 
откуда Тогда 
, следовательно
или 
. (12.30)
Так как c p = c v + R/m, то
. (12.31)
Очень часто для характеристики газа пользуются отношением
. (12.32)
Согласно многочисленным исследованиям по определению C p , и C v между теорией и экспериментом для одноатомных и двухатомных молекул имеется удовлетворительное совпадение. Согласно рассмотренной нами теории теплоёмкости газов должны быть целыми и кратными R/2. Однако, между теоретическими и экспериментальными данными имеется определённое расхождение.
Особенно большие расхождения между теорией и экспериментом наблюдаются при рассмотрении температурной зависимости теплоёмкости. Согласно изложенной теории теплоёмкость не должна зависеть от температуры; на самом же деле это оказывается справедливым только в определённых интервалах температур, при этом, в различных интервалах теплоёмкость имеет значения, соответствующее различному числу степеней свободы (рис.12.4, 12.5).
Это связано с тем, что число степеней свободы одного и того же газа изменяется с изменением температуры. При низких температурах молекулы газа обладают только поступательными степенями свободы, при средних температурах - поступательными и вращательными степенями свободы, а при высоких температурах - поступательными, вращательными и колебательными степенями свободы. При этом, переход от одного числа степеней свободы к их другому числу осуществляется скачкообразно. Изменение числа степеней свободы приводит к изменению теплоемкостей газа. Такое поведение теплоёмкостей объясняется квантовой теорией. Согласно этому объяснению энергия вращательного и колебательного движений изменяются скачкообразно - квантуется, а энергия поступательного движения нет.
Молекулы газа, вернее подавляющая их часть, имеют энергию близкую по своему значению к средней кинетической энергии поступательного движения (<Е к >). Незначительная часть их имеет энергию, значительно превышающую <Е к >. При низких температурах молекулы газа практически движутся поступательно, поэтому теплоёмкость газа равна 3R/2.
Повышение температуры сопровождается увеличением <Е к > в результате чего всё большее и большее число молекул вовлекается во вращательное движение и при некоторой температуре, (вернее, в определённом интервале температур) все молекулы будут вращаться. Это соответствует увеличению их теплоёмкости до 5R/2. Наконец, при дальнейшем увеличении температуры часть молекул начинает совершать колебательное движение, в связи, с чем теплоёмкость станет равной 7R/2.
Таким образом, классическая теория теплоёмкостей верна только для отдельных температурных интервалов, при этом, каждому интервалу соответствует своё число степеней свободы.
Формулы кинетической энергии молекул газа и молярных теплоемкостей в классической теории теплоемкости, основанной на теореме Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы, представлены в таблицах 12.1 и 12.2.
Рассмотрим внутреннюю энергию идеального газа. В идеальном газе притяжение между молекулами отсутствует. Поэтому их потенциальная энергия равна нулю. Тогда внутренняя энергия этого газа будет складываться только из кинетических энергий отдельных молекул. Вычислим сначала внутреннюю энергию одного моля газа. Известно, что число молекул, находящихся в одном моле вещества, равно числу Авогадро N А. Средняя кинетическая энергия молекулы находится по формуле. Следовательно, внутренняя энергияU одного моля идеального газа равна:
(1)
так как kN A = R - универсальная газовая постоянная. Внутренняя энергия U произвольной массы газа M равна внутренней энергии одного моля, умноженной на число молей , равной = M / , где - молярная масса газа, т.е.
(2)
Таким образом, внутренняя энергия данной массы идеального газа зависит только от температуры и не зависит от объёма и давления.
Количество теплоты
Внутренняя энергия термодинамической системы под воздействием ряда внешних факторов может меняться, о чём как видно из формулы (2), можно судить по изменению температуры этой системы. Например, если быстро сжать газ, то его температура повышается. При сверлении металла также наблюдается его нагревание. Если привести в контакт два тела, имеющих разные температуры, то температура более холодного тела повышается, а более нагретого - понижается. В первых двух случаях внутренняя энергия изменяется за счёт работы внешних сил, а в последнем - происходит обмен кинетическими энергиями молекул, в результате чего суммарная кинетическая энергия молекул нагретого тела уменьшается, а менее нагретого - возрастает. Происходит передача энергии от горячего тела к холодному без совершения механической работы. Процесс передачи энергии от одного тела к другому без совершения механической работы получил название теплопередачи или теплообмена . Передача энергии между телами, имеющими разные температуры, характеризуется величиной, называемой количеством теплоты или теплотой , т.е. количество теплоты - это энергия, переданная путём теплообмена от одной термодинамической системы к другой вследствие разницы температуры этих систем.
Первый закон термодинамики
В природе существует закон сохранения и превращения энергии , согласно которомуэнергия не исчезает и не возникает вновь, а лишь переходит из одного вида в другой . Этот закон применительно ктепловым процессам , т.е. процессам, связанным с изменением температуры термодинамической системы, а также с изменением агрегатного состояния вещества, получил название первого закона термодинамики.
Если термодинамической системе сообщить некоторое количество теплоты Q , т.е. некоторую энергию, то за счёт этой энергии в общем случае происходит изменение её внутренней энергииU и система, расширяясь, совершает определённую механическую работуA . Очевидно, что, согласно закону сохранения энергии, должно выполняться равенство:
(3)
т.е. количество теплоты, сообщённое термодинамической системе, расходуется на изменение её внутренней энергии и на совершение системой механической работы при её расширении. Соотношение (4) носит название первого закона термодинамики.
Выражение первого закона удобно записывать для малого изменения состояния системы при сообщении ей элементарного количества теплоты dQ и совершения системой элементарной работыdA , т.е.
(4)
где dU - элементарное изменение внутренней энергии системы. Формула (4) представляет собой запись первого закона термодинамики в дифференциальной форме.
Свойства одноатомных газов определяются кинетической энергией поступательного движения молекул. Внутренняя энергия атома не сказывается на термодинамике газа. Очевидно, учет внутренней энергии атома может стать нужным лишь в тех случаях, когда газ находится при очень высокой температуре и когда столкновения атомов могут привести к их возбуждению и. ионизации. Об этих процессах в свое время у нас будет подробная речь.
Таким образом, весьма широкую применимость будет иметь формула внутренней энергии одноатомного газа
где число молекул. Воспользовавшись формулами предыдущего параграфа, получим для I моля идеального одноатомного газа выражение
Отсюда для теплоемкостей 1 моля одноатомного газа получим по формулам, приведенным в § 60:
Прямая пропорциональность температуре внутренней энергии и соответственно постоянство теплоемкостей одноатомного газа имеют место в довольно широком интервале внешних условий.
У многоатомных газов такая простая картина если и имеет место, то в значительно более узком интервале температур. Причина заключается в том, что энергия многоатомной молекулы складывается из энергии поступательного движения, энергии вращения и энергии колебания частей молекулы (т. е. атомов, из которых она построена) друг по отношению к другу. Подсчет средней энергии, приходящейся на молекулу довольно сложным. Оказывается, что энергия молекулы уже не будет линейно зависеть от температуры и соответственно теплоемкость газа уже не будет постоянной, не зависящей от величиной. Все же обычно удается найти узкий интервал температур, внутри которого теплоемкость газа не зависит от температуры. Это имеет место при таких значениях
температуры, при которых средняя энергия молекулы еще недостаточна для того, чтобы соударения молекулы могли привести к изменению ее колебательного состояния, и в то же время эта энергия достаточно велика, чтобы не чувствовался дискретный (квантовый) характер энергии вращения. Забегая вперед и отсылая читателя к рис. 266 (стр. 577), можно сказать, что линейный ход энергии с температурой и постоянство теплоемкости будут иметь место в том случае, если величина характеризующая по порядку величины энергию поступательного движения молекулы, существенно больше расстояния между вращательными уровнями энергии и меньше расстояния между колебательными уровнями энергии.
Если такой интервал существует, то энергия моля газа и его теплоемкости выражаются следующими простыми формулами:
Возрастание внутренней энергии и вдвое по отношению к одноатомному газу можно толковать следующим образом. У многоатомной молекулы шесть степеней свободы, в то время как у одноатомной - три. Увеличение вдвое числа степеней свободы влечет за собой увеличение вдвое внутренней энергии. Конечно, в этом утверждении нет ничего само собой разумеющегося. Однако мы находим подтверждение этой точке зрения, рассматривая газ двухатомных молекул.
Термодинамика в отличие от молекулярно-кинетической теории, изучает физические свойства макроскопических тел (термодинамических систем), не вникая в их молекулярное строение. Термодинамический метод базируется на законе сохранения и превращении энергии.
Физические величины, характеризующие термодинамическую систему, называются термодинамическими параметрами . К ним относятся: объем, давление, температура, концентрация и др. Любое изменение в термодинамической системе, связанное с изменением ее параметров, называется термодинамическим процессом , а уравнение, связывающее между собой параметры системы, называется уравнением состояния . Примером такого уравнения является уравнение Менделеева - Клапейрона (6.1)
Внутренняя энергия идеального газа
Важнейшей характеристикой термодинамической системы является ее внутренняя энергия U, складывающая из потенциальной энергии взаимодействия частиц системы и кинетической энергии их теплового движения.
Внутренняя энергия является функцией состояния системы, т.е. в каждом состоянии система обладает вполне определенным значением внутренней энергии, не зависящим от того, каким путем система перешла в это состояние.
Так как в идеальном газе потенциальная энергия молекул равна нулю (считается, что молекулы между собой не взаимодействуют), то внутренняя энергия идеального газа равна полной кинетической энергии всех его молекул. Обозначив внутреннюю энергию одного моля газа через U μ , а среднюю кинетическую энергию молекулы через , можем записать для одного моля газа:
U μ = N A (6.18)
где N A – число Авогадро.
Подставляя значение из формулы (6.12), получим внутреннюю энергию для одного моля газа:
(6.19)
Если число молей , то для любого количества вещества
(6.20)
Следовательно, внутренняя энергия газа пропорциональна его массе, числу степеней свободы молекулы и абсолютной температуре газа.
Первый закон термодинамики
Внутреннюю энергию термодинамической системы можно изменить за счет работы, которую либо внешние тела совершают над ней, либо сама система совершает над внешними телами. Например, приложив внешнюю силу, мы сжимаем газ, в результате чего его температура повышается, а, следовательно, увеличивается и внутренняя энергия. Внутреннюю энергию можно изменить также, передавая системе (или отнимая у нее) некоторое количество теплоты.
Согласно закону сохранения энергии, изменение внутренней энергии системы должно равняться сумме полученной ею теплоты и совершенной над ней работы . Эта формулировка закона сохранения энергии применительно к термодинамическим системам носит название первого закона термодинамики :
В дифференциальной форме первый закон термодинамики имеет вид:
Необходимо подчеркнуть, что в отличие от внутренней энергии, являющейся функцией состояния, работа и количество теплоты зависят не только от начального и конечного состояний системы, но и от пути, по которому происходило изменение ее состояния. Следовательно, величины dQ и dА не являются полными дифференциалами, по которым может производиться интегрирование. Для того, чтобы подчеркнуть это обстоятельство для бесконечно малых приращений тепла и работы применяют более корректное обозначение Q и A и тогда первый закон примет вид: Q = dU + A (6.22)
Найдем в общем виде работу, совершаемую газом, (рис.6.6, а). Если газ, расширяясь, перемещает поршень на расстояние dx, то он производит работу (см. формулу 2.19):
A = F · dx = P · S · dx = PdV, (6.22)
где S – площадь поршня; Sdx = dV – изменение объема газа в цилиндре.
Полная работа, совершаемая газом при изменении его объема от V 1 до V 2 , равна:
Графически процесс изменения состояния газа при его расширении изображается участком кривой 1-2 в координатах Р – V (рис.6.6, б). Точки 1 и 2 соответствуют начальному и конечному состояниям газа. Элементарная работа PdV изображается заштрихованной площадью. Полная работа, определяемая формулой 6.23, изображается площадью V 1 – 1 – 2 - V 2 под кривой 1 – 2.
Теплоемкость идеальных газов .
Количество тепла, которое надо сообщить телу, чтобы изменить его температуру на 1 К, называется теплоемкостью тела С.
Согласно этому определению
, [С] = Дж/К (6.24)
Теплоемкость единицы массы вещества называется удельной теплоемкостью С уд
Теплоемкость одного моля называется молярной теплоемкостью С м.
, [С м ] = Дж/моль · К (6.26)
где ν = m/μ – число молей.
Как следует из формул (6.25) и (6.26), удельная теплоемкость связана с молярной соотношением:
С м = С уд · μ (6.27)
Теплоемкость газа зависит от того, при каких условиях она определяется: при постоянном объеме или постоянном давлении. Покажем это, для чего запишем первый закон термодинамики с учетом формулы (6.22):
δQ = dU + PdV (6.28)
Если газ нагревается при постоянном объеме (изохорный процесс), то dV=0 и работа РdV = 0. В этом случае δQ = dU, т.е. передаваемое газу тепло идет только на изменение его внутренней энергии. Теплоемкость газа при постоянном объеме:
С учетом формулы (6.20)
(6.29)
и тогда изохорная теплоемкость
Для одного моля (m/µ = 1) молярная теплоемкость при постоянном объеме
Теперь, с учетом равенства (6.28), найдем теплоемкость при постоянном давлении (изобарный процесс):
(при этом учли, что dU/dT = C V). Из (6.32) следует, что С P > C V . Это объясняется тем, что при нагревании при P = const сообщенное газу тепло идет не только на увеличение его внутренней энергии, но и на совершение работы.
Для одного моля идеального газа уравнение Менделеева – Клапейрона имеет вид PV=RT и потоку PdV=RdT. Учитывая это, получим уравнение Майера , выражающее связь между молярными теплоемкостями при постоянном давлении и постоянном объеме:
С мр = С mv + R (6.33)
Учитывая выражение (6.31) можно записать в виде
При рассмотрении термодинамических процессов важно знать характерное для каждого газа отношение С P к С V:
(6.35)
Величина γ называется коэффициентом Пуассона , i – число степеней свободы молекул (см. рис.6.2).
Повышение температуры приводит, как отмечалось выше, к появлению колебательных степеней свободы, в результате чего теплоемкость возрастает. Наоборот, при низких температурах число степеней свободы уменьшается, так как «вымораживаются» вращательные степени свободы и теплоемкость газа уменьшается.
Изопроцессы
Изопроцессом называется процесс, при котором один из параметров термодинамической системы остается постоянным. Связь между параметрами системы дает уравнение Менделеева – Клапейрона.
Изотермический процесс (Т = const) .
В этом случае уравнение состояния имеет вид:
PV = const (6.36)
Для нескольких конкретных состояний газа можно записать:
P 1 V 1 = P 2 V 3 = . . ., = P n V n
График изотермического процесса (изотерма) в координатах P – V изображается гиперболой (рис.6.7).
Подставляя из формулы (6.1) в формулу работы (6.23), получим для изотермического процесса:
(6.37)
Работа изотермического процесса на рис.6.7 численно равна площади под кривой 1-2.
Из формулы 6.29 следует, что изменение внутренней энергии при dT = 0 в изотермическом процессе равно 0. Тогда первый закон термодинамики применительно к изотермическому процессу примет вид Q = A 
.
т.е. система: либо, получая тепло от внешней среды, совершает работу, расширяясь, либо отдает тепло внешней среде вследствие того, что внешние тела совершают над ней работу, сжимая ее. Следовательно, для того, чтобы при изотермическом расширении температура не падала, к газу необходимо подводить количество теплоты, эквивалентное работе расширения. Наоборот, при сжатии система должна отдавать среде количество теплоты, эквивалентное работе сжатия.
Изобарный процесс (Р = const) .
Уравнение состояния при Р = const имеет вид
Const или 
График изобарного процесса в координатах Р – V приведен на рис.6.7. Работа при изобарном процессе (см.6.23)
(6.39)
на графике работа при Р = const численно равна площади прямоугольника под прямой 1-3.
Первый закон термодинамики для изобарного процесса
Изохорный процесс (V = const) .
При изохорном процессе уравнение состояния
Или 
(6.40)
Поскольку dV = 0, то работа при изохорном процессе равна нулю. Первый закон термодинамики для изохорного процесса имеет вид
т.е. либо вся теплота, сообщаемая системе, идет на увеличение ее внутренней энергии, либо система отдает среде тепло, уменьшая свою внутреннюю энергию.
Адиабатический процесс .
Адиабатическим называется процесс, протекающий без теплообмена с внешней средой(δQ = 0). Близким к адиабатическим являются все быстропротекающие процессы, например, расширение и сжатие горючей смеси в двигателях внутреннего сгорания.
Учитывая, что δQ = 0, запишем первый закон термодинамики для адиабатического процесса:
А = -ΔU (6.41)
Отсюда следует, что если газ совершает работу (адиабатически расширяясь), то А>0, соответственно ΔU<0 и ΔТ<0, т.е. газ охлаждается. Наоборот, при адиабатическом сжатиии газа А<0, тогда ΔU >0 и ΔТ >0, т.е. газ нагревается.
Используя выражение (6.23) и учитывая, (6.20), перепишем равенство (6.41):
(6.42)
Продифференцируем уравнение Менделеева – Клапейрона (6.1):
(6.43)
Исключив из уравнений (6.42) и (6.43) температуру Т, получим
Разделив переменные и учитывая равенство (6.35), найдем
Интегрируя это равенство, получим
γlnV + lnP = const
Или в окончательном виде связь между давлением и объемом газа в адиабатическом процессе:
PV γ = const (6.44)
Это отношение называется уравнением адиабаты или уравнением Пуассона . Кривая адиабаты представлена на рис.6.7, которая падает с ростом объема круче, чем изотерма. Это непосредственно следует из того, что γ>1 (см. также формулу 6.35).
Уравнение Пуассона можно выразить и через другие параметры с помощью уравнения Менделеева – Клапейрона
T γ P 1-γ = const
Вычислим работу расширения газа в адиабатическом процессе. Учитывая равенство (6.42), получим
(6.45)
Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа Средняя энергия одной молекулы Т. к. молекулы идеального газа на расстоянии не взаимодействую, внутренняя энергия газа равна сумме внутренних энергий всех молекул Для 1 моля, где N=NA Внутренняя энергия произвольной массы m Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры
Теплоемкость Теплоёмкость тела величина, равная количеству теплоты, которую надо сообщить телу, чтобы повысить его температуру на 1 градус для нагревания этого тела на один градус: если m=1 кг
Удельная теплоёмкость (с) – количество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы вещества на один градус. [с] = Для газов удобно пользоваться молярной теплоемкостью Сμ количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля газа на 1 градус: Сμ = с· μ Молярные теплоемкости всех газов с одинаковым числом степеней свободы i равны, а удельные – различны (т. к. разные молярные массы μ)
Теплоёмкость термодинамической системы зависит от того, как изменяется состояние системы при нагревании. Наибольший интерес представляет теплоемкость для случаев, когда нагревание происходит при условии V=Const (c. V) p=Const (cp).
V=Const (c. V) Если газ нагревать при постоянном объёме, то всё подводимое тепло идёт на нагревание газа, то есть изменение его внутренней энергии. Работы над другими телами не совершается. d. QV = d. U (d. А = 0) Т. к. для 1 моля Т. о. CV не зависит от температуры, а зависит только от числа степеней свободы i равны, т. е. от числа атомов в молекуле газа.
p=Const (cp) Если нагревать газ при постоянном давлении (СР) в сосуде с поршнем, то подводимое тепло затрачивается и на нагревание газа, и на совершение работы. Поэтому, для повышения Т на 1 К понадобится больше тепла, чем в случае V=Const Следовательно, СР > СV
Запишем I начало ТД для 1 моля газа разделим на d. T CV Из основного уравнения МКТ имеем: p. Vμ=RT/p Т. о. работа, которую совершает 1 моль идеального газа при повышении температуры на 1 К равна газовой постоянной R. отношение Cp/Cv есть постоянная для каждого газа величина
Число степеней свободы, проявляющееся в теплоемкости зависит от температуры. Рис. качественная зависимость молярной теплоемкости СV от температуры для аргона (Ar) и водорода (H 2) Результаты МКТ верны для определенных температурных интервалов, причем каждому интервалу соответствует свое число степеней свободы.
Применение первого начала термодинамики к изопроцессам Изопроцесс – процесс, проходящий при постоянном значении одного из основных термодинамических параметров – P, V или Т. 1) изохорический процесс, при котором объем системы остается постоянным (V = const). 2) изобарический процесс, при котором давление, оказываемое со стороны системы на окружающие тела, остается постоянным (р = const). 3) изотермический процесс, при котором температура системы остается постоянной (Т = const). 4) адиабатический процесс, при котором на протяжении всего процесса теплообмен с окружающей средой отсутствует (d. Q = 0; Q = 0)
Изотермический процесс – процесс, происходящий в физической системе при постоянной температуре (T = const). В идеальном газе при изотермическом процессе произведение давления на объем постоянно – закон Бойля Мариотта: Найдем работу газа при изотермическом процессе:
Используя формулу U = с. VT , получаем d. U = с. V d. T = 0 Следовательно, внутренняя энергия газа при изотермическом процессе не меняется. Поэтому Значит, при изотермическом процессе вся теплота, сообщаемая газу, идет на совершение им работы над внешними телами. Поэтому Чтобы при расширении газа его температура не понижалась, к газу необходимо подводить количество теплоты, равное его работе над внешними телами.
Изохорический процесс – процесс, происходящий в физической системе при постоянном объеме (V = const). - закон Шарля При изохорическом процессе механическая работа газом не совершается.
Изохорический процесс: V = const 1. Из уравнения состояния идеального 2. газа для двух температур T 1 и T 2 3. следует 4. откуда 5. В процессе 1 6. В процессе 1 2 происходит нагревание газа 3 происходит охлаждение газа
Пусть начальное состояние газа отвечает состоянию при нормальных условиях Т 0 = 0°С = 273. 15 °К, р0 = 1 атм, тогда для произвольной температуры Т давление в изохорическом процессе находится из уравнения Давление газа пропорционально его температуре - Закон Шарля Поскольку d. A = pd. V = 0 , то при изохорическом процессе газ не совершает работу над внешними телами. При этом переданная газу теплота равна d. Q = d. А + d. U = d. U То есть при изохорическом процессе вся теплота, передаваемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии.
Изобарический процесс – процесс, происходящий в физической системе при постоянном давлении (P = const). const - закон Гей. Люссака
2) Изобарический процесс: p = const В изобарическом процессе газ совершает работу Работа равна площади под прямой изобары. Из уравнения состояния идеального газа получаем
Перепишем последнее соотношение в виде Это равенство раскрывает физический смысл газовой постоянной R - она равна работе 1 моля идеального газа, совершаемой им при нагревании на 1° К в условиях изобарного расширения. Возьмем в качестве начального состояния - состояние идеального газа при нормальных условиях (Т 0, V 0), тогда объем газа V при произвольной температуре Т в изобарическом процессе равен Объем газа при постоянном давлении пропорционален его температуре - закон Гей-Люссака.
Адиабатный процесс – процесс, происходящий в физической системе без теплообмена с окружающей средой (Q = 0). уравнение Пуассона. γ – показатель адиабаты.
4) Адиабатический процесс: d. Q = 0 При адиабатическом процессе теплообмен между газом и окружающей средой отсутствует. Из первого начала термодинамики получаем d. A = - d. U Поэтому в адиабатическом процессе работа газа над внешними телами совершается за счет убыли его внутренней энергии. Используя d. U = с. Vd. T ; d. A = рd. V находим рd. V = - с. V d. T С другой стороны, из уравнения состояния идеального газа следует d(р. V) = pd. V + Vdp = Rd. T
Исключая d. T , получаем рd. V = - с. V (pd. V + vdp)/R Откуда Интегрируя, находим
Последнюю формулу можно переписать в виде Следовательно это уравнение адиабатического процесса - уравнение Пуассона Так как > 1 , то у адиабаты давление меняется от объема быстрее, чем у изотермы.
Используя уравнение состояния идеального газа, преобразуем уравнение Пуассона к виду Значит или При адиабатическом расширении идеальный газ охлаждается, а при сжатии – нагревается.
Политропический процесс – процесс, протекающий при постоянной теплоёмкости, cm = const. где cm – молярная теплоемкость. где n - показатель политропы.
С другой стороны, из уравнения состояния идеального газа Поэтому можно записать Поскольку c. P = c. V + R то
Энтропия Адиабатические процессы в термодинамических системах могут быть равновесными и неравновесными. Для характеристики равновесного адиабатического процесса можно ввести некоторую физическую величину, которая оставалась бы постоянной в течение всего процесса; ее назвали энтропией S. Энтропия есть такая функция состояния системы, элементарное изменение которой при равновесном переходе системы из одного состояния в другое равно полученному или отданному количеству теплоты, деленному на температуру, при которой произошел этот процесс для бесконечно малого изменения состояния системы
Изменение энтропии в изопроцессах Если система совершает равновесный переход из состояния 1 в состояние 2, то изменение энтропии: Найдем изменения энтропии в процессах идеального газа. Так как а то
Или Изменение энтропии S 1 2 идеального газа при переходе его из состояния 1 в состояние 2 не зависит от пути перехода 1 2. изохорического процесса: изобарического процесса: p 1 = p 2 изотермического процесса: Т 1 = Т 2 адиабатного процесса:
Следовательно, S = const, адиабатный процесс по другому называют – изоэнтропийным процессом. Во всех случаях, когда система получает извне теплоту, то Q - положительно, следовательно, S 2 > S 1 и энтропия системы увеличивается. Если же система отдаст теплоту, то Q имеет отрицательный знак и, следовательно, S 2
Изопроцессы могут быть изображены графически в координатных системах, по осям которых отложены параметры состояния. давление p - объем V температура Т– объем V температура Т – давление p V 1 V 2 При адиабатическом расширении внешняя работа совершается только за счет внутренней энергии газа, вследствие чего внутренняя энергия, а вместе с ней и температура газа уменьшаются (Т 2
Удобство координатной системы р, V В масштабе чертежа внешняя работа изображается площадью, ограниченной кривой процесса 1- 2 и ординатами начального и конечного состояний
Круговые (замкнутые) процессы Совокупность термодинамических процессов, в результате которых система возвращается в исходное состояние, называется круговым процессом (циклом). Прямой цикл – работа за Обратный цикл – работа за цикл
Тепловая машина Циклически действующее устройство, превращающее теплоту в работу, называется тепловой машиной или тепловым двигателем. Q 1 – тепло, получаемое РТ от нагревателя, Q 2 – тепло, передаваемое РТ холодильнику, А – полезная работа (работа, совершаемая РТ при передаче тепла).
В цилиндре находится газ – рабочее тело (РТ). Начальное состояние РТ на диаграмме p(V) изображено точкой 1. Цилиндр подключают к нагревателю, РТ нагревается и расширяется. Следовательно совершается положительная работа А 1, цилиндр переходит в положение 2 (состояние 2).
Процесс 1– 2: – первое начало термодинамики. Работа А 1 равна площади под кривой 1 a 2. Чтобы поршень цилиндра вернуть в исходное состояние 1, необходимо сжать рабочее тело, затратив при этом работу – А 2.
Для того чтобы поршень совершил полезную работу, необходимо выполнить условие: А 2
Сложим два уравнения и получим: Рабочее тело совершает круговой процесс 1 a 2 b 1 – цикл. К. п. д.
Процесс возвращения рабочего тела в исходное состояние происходит при более низкой температуре. Следовательно, для работы тепловой машины холодильник принципиально необходим.
Цикл Карно Никола Леонард Сади КАРНО – блестящий французский офицер инженерных войск, в 1824 г. опубликовал сочинение «Размышления о движущей силе огня и о машинах способных развить эту силу» . Ввел понятие кругового и обратимого процессов, идеального цикла тепловых машин, заложил тем самым основы их теории. Пришел к понятию механического эквивалента теплоты.
Карно вывел теорему, носящую теперь его имя: из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые температуры нагревателей и холодильников, наибольшим КПД обладают обратимые машины. Причем КПД обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей и холодильников, равны другу и не зависят от конструкции машины. При этом КПД меньше единицы.
Если Т 2 = 0, то η = 1, что невозможно, т. к. абсолютный нуль температуры не существует. Если Т 1 = ∞, то η = 1, что невозможно, т. к. бесконечная температура не достижима. КПД цикла Карно η
Теоремы Карно. 1. К. п. д. η обратимой идеальной тепловой машины Карно не зависит от рабочего вещества. 2. К. п. д. необратимой машины Карно не может быть больше к. п. д. обратимой машины Карно.