Obseg formule prisekanega trapeza. Prisekana piramida. Piramida kot tridimenzionalna figura
Piramida je polieder, katerega ena ploskev je mnogokotnik ( osnova ), vse ostale ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom ( stranski obrazi ) (slika 15). Piramida se imenuje pravilno , če je njena osnova pravilen mnogokotnik in je vrh piramide projiciran v središče baze (slika 16). Imenuje se trikotna piramida, pri kateri so vsi robovi enaki tetraeder .
Bočno rebro piramide je stran stranske ploskve, ki ne pripada osnovi Višina piramida je razdalja od njenega vrha do ravnine baze. Vsi stranski robovi pravilne piramide so med seboj enaki, vse stranske ploskve so enaki enakokraki trikotniki. Višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je narisana iz vrha, se imenuje apotema . Diagonalni odsek se imenuje odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.
Bočna površina piramida je vsota ploščin vseh stranskih ploskev. Skupna površina se imenuje vsota površin vseh stranskih ploskev in podnožja.
Izreki
1. Če so v piramidi vsi stranski robovi enako nagnjeni na ravnino baze, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, ki je opisan blizu baze.
2. Če so vsi stranski robovi piramide enake dolžine, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, ki je opisan blizu baze.
3. Če so vse ploskve v piramidi enako nagnjene na ravnino baze, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, včrtanega v osnovi.
Za izračun prostornine poljubne piramide je pravilna formula:
Kje V- volumen;
S osnova– osnovna površina;
H– višina piramide.
Za pravilno piramido so pravilne naslednje formule:
Kje str– osnovni obod;
h a– apotem;
H- višina;
S poln
S stran
S osnova– osnovna površina;
V– prostornina pravilne piramide.
Prisekana piramida imenovan del piramide, ki je zaprt med osnovo in sečno ravnino, vzporedno z osnovo piramide (slika 17). Pravilna prisekana piramida imenujemo del pravilne piramide, ki je zaprt med osnovo in sečno ravnino, ki je vzporedna z osnovo piramide.
Razlogi prisekana piramida - podobni poligoni. Stranski obrazi – trapezi. Višina prisekane piramide je razdalja med njenimi osnovami. Diagonala prisekana piramida je segment, ki povezuje njena oglišča, ki ne ležijo na isti ploskvi. Diagonalni odsek je odsek prisekane piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.
Za prisekano piramido veljajo naslednje formule:
(4)
Kje S 1 , S 2 – območja zgornje in spodnje baze;
S poln– skupna površina;
S stran– bočna površina;
H- višina;
V– prostornina prisekane piramide.
Za pravilno prisekano piramido je pravilna formula:
Kje str 1 , str 2 – obodi baz;
h a– apotem pravilne prisekane piramide.
Primer 1. V pravilni trikotni piramidi je diedrski kot pri dnu 60º. Poiščite tangens kota naklona stranskega roba na ravnino osnove.
rešitev. Naredimo risbo (slika 18).
 |
Piramida je pravilna, kar pomeni, da je na dnu enakostranični trikotnik, vse stranske ploskve pa so enaki enakokraki trikotniki. Diedrski kot pri dnu je kot naklona stranske ploskve piramide na ravnino baze. Linearni kot je kot a med dvema navpičnicama: itd. Vrh piramide je projiciran v središče trikotnika (središče opisanega kroga in včrtanega kroga trikotnika ABC). Kot naklona stranskega roba (npr S.B.) je kot med samim robom in njegovo projekcijo na ravnino osnove. Za rebro S.B. ta kot bo kot SBD. Če želite najti tangento, morate poznati noge SO in O.B.. Naj dolžina segmenta BD enako 3 A. Pika O odsek črte BD je razdeljen na dele: in Iz najdemo SO: 
Od najdemo: 
odgovor:
Primer 2. Poiščite prostornino pravilne prisekane štirikotne piramide, če sta diagonali njenih osnov enaki cm in cm, njena višina pa je 4 cm.
rešitev. Za iskanje prostornine prisekane piramide uporabimo formulo (4). Če želite najti površino baz, morate najti stranice osnovnih kvadratov, pri čemer poznate njihove diagonale. Stranice baz so enake 2 cm oziroma 8 cm, kar pomeni površine baz in Če nadomestimo vse podatke v formulo, izračunamo prostornino prisekane piramide:
odgovor: 112 cm 3.
Primer 3. Poiščite površino stranske ploskve pravilne trikotne prisekane piramide, katere stranice osnove so 10 cm in 4 cm, višina piramide pa 2 cm.
rešitev. Naredimo risbo (slika 19).
Stranska stran te piramide je enakokraki trapez. Če želite izračunati površino trapeza, morate poznati osnovo in višino. Osnove so podane glede na stanje, le višina ostaja neznanka. Kje jo bomo našli A 1 E pravokotno od točke A 1 na ravnini spodnje baze, A 1 D– pravokotno od A 1 na AC. A 1 E= 2 cm, saj je to višina piramide. Najti DE Naredimo dodatno risbo, ki prikazuje pogled od zgoraj (slika 20). Pika O– projekcija središč zgornje in spodnje baze. ker (glej sliko 20) in Po drugi strani v redu– krogu včrtan polmer in 
OM– polmer vpisan v krog:
MK = DE.
Po Pitagorovem izreku iz
Območje stranskega obraza: 
odgovor:
Primer 4. Na dnu piramide leži enakokraki trapez, katerega osnove A in b (a> b). Vsaka stranska ploskev tvori kot, ki je enak ravnini osnove piramide j. Poiščite celotno površino piramide.
rešitev. Naredimo risbo (slika 21). Skupna površina piramide SABCD enaka vsoti ploščin in ploščine trapeza ABCD.
Uporabimo izjavo, da če so vse ploskve piramide enako nagnjene na ravnino osnove, potem je oglišče projicirano v središče kroga, včrtanega v osnovi. Pika O– verteksna projekcija S na dnu piramide. Trikotnik SOD je pravokotna projekcija trikotnika CSD na ravnino baze. Z uporabo izreka o območju pravokotne projekcije ravninske figure dobimo:
Enako pomeni 
Tako se je problem zmanjšal na iskanje območja trapeza ABCD. Narišimo trapez ABCD ločeno (slika 22). Pika O– središče kroga, včrtanega v trapez.
Ker je krog lahko včrtan v trapez, potem ali Iz Pitagorovega izreka imamo
Sposobnost izračuna prostornine prostorskih figur je pomembna pri reševanju številnih praktičnih problemov v geometriji. Ena najpogostejših figur je piramida. V tem članku bomo obravnavali tako polne kot prisekane piramide.
Piramida kot tridimenzionalna figura
Vsi vedo za egipčanske piramide, zato imajo dobro predstavo, o kakšni figuri bomo govorili. Vendar so egipčanske kamnite strukture le poseben primer velikega razreda piramid.
Obravnavani geometrijski objekt v splošnem primeru je poligonalna osnova, katere vsaka točka je povezana z določeno točko v prostoru, ki ne pripada ravnini baze. Ta definicija vodi do figure, sestavljene iz enega n-kotnika in n trikotnikov.
Vsaka piramida je sestavljena iz n+1 ploskev, 2*n robov in n+1 oglišč. Ker je zadevna figura popoln polieder, se število označenih elementov drži Eulerjeve enakosti:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Poligon, ki se nahaja na dnu, daje ime piramidi, na primer trikotna, peterokotna itd. Niz piramid z različnimi osnovami je prikazan na spodnji fotografiji.
Točka, v kateri se sreča n trikotnikov figure, se imenuje vrh piramide. Če je navpičnica spuščena z nje na podlago in jo seka v geometrijskem središču, se bo takšna figura imenovala ravna črta. Če ta pogoj ni izpolnjen, se pojavi nagnjena piramida.
Pravilni lik, katerega osnovo tvori enakostranični (enakokotni) n-kotnik, imenujemo pravilni.
Formula za prostornino piramide
Za izračun prostornine piramide bomo uporabili integralni račun. Da bi to naredili, lik razdelimo tako, da ravnine, vzporedne z osnovo, razrežemo na neskončno število tankih plasti. Spodnja slika prikazuje štirikotno piramido višine h in stranice dolžine L, pri kateri štirikotnik označuje tanko plast preseka.
Površino vsake takšne plasti je mogoče izračunati po formuli:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Tukaj je A 0 območje baze, z je vrednost navpične koordinate. Vidimo lahko, da če je z = 0, potem formula daje vrednost A 0 .
Če želite dobiti formulo za prostornino piramide, morate izračunati integral po celotni višini figure, to je:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Če zamenjamo odvisnost A(z) in izračunamo antiizpeljavo, pridemo do izraza:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.
Dobili smo formulo za prostornino piramide. Če želite najti vrednost V, samo pomnožite višino figure s površino osnove in nato rezultat delite s tri.
Upoštevajte, da je dobljeni izraz veljaven za izračun prostornine piramide katere koli vrste. To pomeni, da je lahko nagnjen, njegova osnova pa je lahko poljuben n-kotnik.
in njegovo prostornino
Splošno formulo za prostornino, pridobljeno v zgornjem odstavku, je mogoče izboljšati v primeru piramide s pravilno osnovo. Površina takšne baze se izračuna po naslednji formuli:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Tukaj je L dolžina stranice pravilnega mnogokotnika z n oglišči. Simbol pi je število pi.
Če nadomestimo izraz za A 0 v splošno formulo, dobimo prostornino pravilne piramide:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Na primer, za trikotno piramido ta formula povzroči naslednji izraz:
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.
Za pravilno štirikotno piramido ima formula volumna obliko:
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *v.
Določanje prostornine pravilnih piramid zahteva poznavanje stranice njihove osnove in višine figure.
Prisekana piramida
Predpostavimo, da smo vzeli poljubno piramido in ji odrezali del stranske ploskve, ki vsebuje vrh. Preostala figura se imenuje prisekana piramida. Sestavljen je že iz dveh n-kotnih osnov in n trapezov, ki ju povezujejo. Če je bila rezalna ravnina vzporedna z vznožjem figure, potem nastane prisekana piramida s podobnimi vzporednimi osnovami. To pomeni, da lahko dolžine strani enega od njih dobimo tako, da dolžine drugega pomnožimo z določenim koeficientom k.
Na zgornji sliki je prikazan prisekan pravilni, iz katerega je razvidno, da njegovo zgornjo osnovo, tako kot spodnjo, tvori pravilni šesterokotnik.
Formula, ki jo je mogoče izpeljati z uporabo podobnega integralnega računa, je:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Kjer sta A 0 in A 1 ploščini spodnje (velike) oziroma zgornje (majhne) baze. Spremenljivka h označuje višino prisekane piramide.
Prostornina Keopsove piramide
Zanimivo je rešiti problem določanja prostornine, ki jo največja egipčanska piramida vsebuje v sebi.
Leta 1984 sta britanska egiptologa Mark Lehner in Jon Goodman ugotovila točne dimenzije Keopsove piramide. Njegova prvotna višina je bila 146,50 metra (trenutno približno 137 metrov). Povprečna dolžina vsake od štirih strani konstrukcije je bila 230,363 metra. Osnova piramide je kvadratna z visoko natančnostjo.
S podanimi številkami določimo prostornino tega kamnitega velikana. Ker je piramida pravilna štirikotna, potem zanjo velja formula:
Če zamenjamo številke, dobimo:
V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.
Prostornina Keopsove piramide je skoraj 2,6 milijona m3. Za primerjavo omenimo, da ima olimpijski bazen prostornino 2,5 tisoč m 3. To pomeni, da boste zapolnili celotno Keopsovo piramido potrebovali več kot 1000 takih bazenov!
Prisekana piramida je polieder, katerega oglišča so oglišča baze in oglišča njegovega odseka z ravnino, ki je vzporedna z osnovo.
Lastnosti prisekane piramide:
- Osnove prisekane piramide so podobni mnogokotniki.
- Stranske ploskve prisekane piramide so trapezi.
- Stranska robova pravilne prisekane piramide sta enaka in enako nagnjena proti dnu piramide.
- Stranski ploskvi pravilne prisekane piramide sta enaki enakokraki trapezi in sta enako nagnjeni proti dnu piramide.
- Diedrski koti na stranskih robovih pravilne prisekane piramide so enaki.
Površina in prostornina prisekane piramide
Naj bo višina prisekane piramide in bosta obsega baz prisekane piramide in bosta ploščini baz prisekane piramide, bosta ploščina stranske ploskve prisekane piramide, bodi območje od celotne površine prisekane piramide in je prostornina prisekane piramide. Potem veljajo naslednje relacije:
.
Če so vsi diedrski koti na dnu prisekane piramide enaki in so višine vseh stranskih ploskev piramide enake, potem
Piramida je polieder, katerega osnovo predstavlja poljuben mnogokotnik, ostale ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom, ki ustreza vrhu piramide.
Če v piramidi narišete prerez, ki je vzporeden z osnovo, bo ta lik razdelil na dva dela. Prostor med spodnjo podlago in odsekom, omejenim z robovi, se imenuje prisekana piramida.
Formula za prostornino prisekane piramide je tretjina zmnožka višine in vsote ploščin zgornje in spodnje osnove z njunim povprečnim proporcionalnim deležem:
Oglejmo si primer izračuna prostornine prisekane piramide.
Problem: Dana je trikotna prisekana piramida. Njena višina je h = 10 cm, stranice ene od osnov so a = 27 cm, b = 29 cm, c = 52 cm Obseg druge baze je P2 = 72 cm Poiščite prostornino piramide. 
Za izračun prostornine potrebujemo površino baz. Če poznamo dolžine strani enega trikotnika, lahko izračunamo >. Če želite to narediti, morate najti polobod: 
Zdaj pa poiščimo S2: 
Ker vemo, da je piramida prisekana, sklepamo, da so si trikotniki, ki ležijo na osnovah, podobni. Koeficient podobnosti teh trikotnikov je mogoče najti iz razmerja obsegov. Razmerje med površinami trikotnikov bo enako kvadratu tega koeficienta: 
Zdaj, ko smo našli površino baz prisekane piramide, lahko enostavno izračunamo njeno prostornino:
Tako smo z izračunom koeficienta podobnosti in izračunom površine baz našli prostornino dane prisekane piramide.
12.01.2017HA13118 je ojačevalnik razreda AB, vsebuje minimalno število zunanjih elementov in ima visoko moč z relativno nizko napajalno napetostjo; ojačevalnik ima tudi visoko ojačanje 55 dB, kar vam omogoča brez predhodnega ojačanja signala. Glavne tehnične lastnosti: Izhodna moč 18 W (maksimalna) pri obremenitvi 4 Ohmov 10 W ...
Vsa našteta mikrovezja so izdelana v paketu SIP1 z 11 pini in so dvokanalni stereo nizkofrekvenčni ojačevalniki ter imajo enako povezavo zunanjih elementov. *TDA2005 je posebej zasnovan za uporabo mostičnega vezja. Parametri: TDA2004A(TDA2004S) Napajalna napetost 8…18V Mirovni tok 65mA Frekvenčno območje 40…20000Hz Rn -2 Ohm Izhodna moč 10 W K…
Digitalno krmiljeno regulirano napajalno vezje je sestavljeno iz regulatorja pozitivne napetosti na KM317, desetletnega števca KPOM CD4017, časovnika NE555 in regulatorja negativne napetosti na LM7912. Omrežna napetost se s transformatorjem zniža na napetost +/-12V s tokom 1A v sekundarnem navitju, nato se popravi. C1-C5 kapacitivni filter konstantne napetosti. LED1 označuje ...
Slika prikazuje diagram 8-kanalnega časovnega releja; časovni rele uporablja Arduino Nano, uro realnega časa DS3231 (modul), sedemsegmentni štirimestni indikator na osnovi gonilnika TM1637 (modul TM1637) in štiri kontrolni gumbi. V vsakem kanalu lahko nastavite čas vklopa in izklopa releja, vse vrednosti časa vklopa in izklopa releja so shranjene v ...
Trifazni asinhronski motor normalne zasnove lahko ustvari navor brez posebnih ukrepov, ko se napaja iz enofaznega tokovnega omrežja. Predpostavimo, da je tokokrog ene od žic delujočega motorja, priključenega na trifazno omrežje, odprt (na primer zaradi pregorelega talilnega vložka). Stroj, ki se znajde v enofaznem načinu z zaporedno ali zaporedno vzporedno vezavo statorskih navitij...