Trikotnik je mnogokotnik s tremi stranicami ali zaprta lomljena črta s tremi členi ali figura, ki jo tvorijo trije segmenti, ki povezujejo tri točke, ki ne ležijo na isti ravni črti (glej sliko 1).

Osnovni elementi trikotnika abc

Vrhovi – točke A, B in C;

Stranke – odseki a = BC, b = AC in c = AB, ki povezujejo oglišča;

Koti – α, β, γ, ki jih tvorijo trije pari stranic. Koti so pogosto označeni na enak način kot oglišča, s črkami A, B in C.

Kot, ki ga tvorijo stranice trikotnika in leži v njegovem notranjem območju, imenujemo notranji kot, njemu priležni pa sosednji kot trikotnika (2, str. 534).

Višine, mediane, simetrale in srednjice trikotnika

Poleg glavnih elementov v trikotniku so upoštevani tudi drugi segmenti z zanimivimi lastnostmi: višine, mediane, simetrale in srednje črte.

Višina

Višine trikotnika- to so pravokotnice, spuščene iz oglišč trikotnika na nasprotne stranice.

Če želite narisati višino, morate izvesti naslednje korake:

1) narišite ravno črto, ki vsebuje eno od stranic trikotnika (če je višina potegnjena iz vrha ostrega kota v tupokotnem trikotniku);

2) iz vrha, ki leži nasproti narisane črte, narišite segment od točke do te črte in z njim naredite kot 90 stopinj.

Točka, kjer višina seka stranico trikotnika, se imenuje višinska osnova (glej sliko 2).

Lastnosti višin trikotnika

V pravokotnem trikotniku nadmorska višina, potegnjena iz vrha pravega kota, razdeli na dva trikotnika, podobna prvotnemu trikotniku.

V ostrokotnem trikotniku njegovi dve nadmorski višini odrežeta podobne trikotnike od njega.

Če je trikotnik oster, potem vse osnove višin pripadajo stranicam trikotnika, v tupokotnem trikotniku pa dve višini padata na nadaljevanje stranic.

Tri višine v ostrem trikotniku se sekajo v eni točki in ta točka se imenuje ortocenter trikotnik.

Mediana

Mediane(iz latinščine mediana - "sredina") - to so segmenti, ki povezujejo oglišča trikotnika s središči nasprotnih strani (glej sliko 3).

Če želite sestaviti mediano, morate izvesti naslednje korake:

1) poiščite sredino stranice;

2) z odsekom povežite točko, ki je sredina stranice trikotnika, z nasprotnim vrhom.

Lastnosti median trikotnika

Mediana deli trikotnik na dva enaka ploščina trikotnika.

Srednjici trikotnika se sekata v eni točki, ki vsako od njiju deli v razmerju 2:1, šteto od vrha. Ta točka se imenuje težišče trikotnik.

Celoten trikotnik je z medianami razdeljen na šest enakih trikotnikov.

Simetrala

Simetrale(iz latinščine bis - dvakrat in seko - rez) so ravni črti, zaprti znotraj trikotnika, ki delijo njegove kote (glej sliko 4).

Če želite zgraditi simetralo, morate izvesti naslednje korake:

1) zgradite žarek, ki izhaja iz vrha kota in ga deli na dva enaka dela (simetralo kota);

2) poiščite presečišče simetrale kota trikotnika z nasprotno stranjo;

3) izberite segment, ki povezuje oglišče trikotnika s presečiščem na nasprotni strani.

Lastnosti simetral trikotnika

Simetrala kota trikotnika deli nasprotno stranico v razmerju, ki je enako razmerju obeh sosednjih stranic.

Simetrali notranjih kotov trikotnika se sekata v eni točki. To točko imenujemo središče včrtanega kroga.

Simetrali notranjega in zunanjega kota sta pravokotni.

Če simetrala zunanjega kota trikotnika seka podaljšek nasprotne stranice, potem je ADBD=ACBC.

Simetrali enega notranjega in dveh zunanjih kotov trikotnika se sekata v eni točki. Ta točka je središče ene od treh zunanjih krožnic tega trikotnika.

Osnovice simetral dveh notranjih in enega zunanjega kota trikotnika ležijo na isti premici, če simetrala zunanjega kota ni vzporedna z nasprotno stranjo trikotnika.

Če simetrale zunanjih kotov trikotnika niso vzporedne z nasprotnimi stranicami, potem ležita njuni osnovici na isti premici.

Trikotniki.

Osnovni pojmi.

Trikotnik je lik, sestavljen iz treh odsekov in treh točk, ki ne ležijo na isti premici.

Segmenti se imenujejo stranke, točke pa so vrhovi.

Vsota kotov trikotnik je 180º.

Višina trikotnika.

Višina trikotnika- to je pravokotnica, potegnjena iz vrha na nasprotno stran.

V ostrokotnem trikotniku je višina v trikotniku (slika 1).

V pravokotnem trikotniku so kraki nadmorske višine trikotnika (slika 2).

V tupokotnem trikotniku višina sega izven trikotnika (slika 3).

Lastnosti višine trikotnika:

Simetrala trikotnika.

Simetrala trikotnika- to je segment, ki deli vogal oglišča na polovico in povezuje oglišče s točko na nasprotni strani (slika 5).

Lastnosti simetrale:

Mediana trikotnika.

Mediana trikotnika- to je segment, ki povezuje vrh s sredino nasprotne strani (slika 9a).

Dolžino mediane lahko izračunamo po formuli: 2b 2 + 2c 2 - a 2 m a 2 = —————— 4 Kje m a- mediana potegnjena vstran A. V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena na hipotenuzo, enaka polovici hipotenuze: c m c = — 2 Kje m c- mediana, potegnjena na hipotenuzo c(Slika 9c) Srednjici trikotnika se sekata v eni točki (v masnem središču trikotnika) in ju ta točka deli v razmerju 2:1, šteto od oglišča. To pomeni, da je odsek od oglišča do središča dvakrat večji od odseka od središča do stranice trikotnika (slika 9c). Tri mediane trikotnika ga delijo na šest enakih trikotnikov.

Srednja črta trikotnika.

Srednja črta trikotnika- to je segment, ki povezuje razpolovni točki njegovih dveh strani (slika 10).

Srednja črta trikotnika je vzporedna s tretjo stranico in enaka njeni polovici

Zunanji kot trikotnika.

Zunanji kot trikotnika je enaka vsoti dveh nesosednjih notranjih kotov (slika 11).

Zunanji kot trikotnika je večji od katerega koli nesosednjega kota.

Pravokotni trikotnik.

Pravokotni trikotnik je trikotnik, ki ima pravi kot (slika 12).

Stran pravokotnega trikotnika, ki je nasprotna pravemu kotu, se imenuje hipotenuza.

Drugi dve strani se imenujeta noge.

Proporcionalni odseki v pravokotnem trikotniku.

1) V pravokotnem trikotniku višina, narisana iz pravega kota, tvori tri podobne trikotnike: ABC, ACH in HCB (slika 14a). V skladu s tem so koti, ki jih tvori višina, enaki kotoma A in B.

Slika 14a

Enakokraki trikotnik.

Enakokraki trikotnik je trikotnik, katerega stranice so enake (slika 13).

Te enake strani se imenujejo straneh, in tretji - osnova trikotnik.

V enakokrakem trikotniku so osnovni koti enaki. (V našem trikotniku je kot A enak kotu C).

V enakokrakem trikotniku je mediana, potegnjena na osnovo, simetrala in višina trikotnika.

Enakostranični trikotnik.

Enakostranični trikotnik je trikotnik, v katerem so vse stranice enake (slika 14).

Lastnosti enakostraničnega trikotnika:

Izjemne lastnosti trikotnikov.

Trikotniki imajo edinstvene lastnosti, ki vam bodo pomagale uspešno rešiti probleme, ki vključujejo te oblike. Nekatere od teh lastnosti so opisane zgoraj. Vendar jih znova ponavljamo in jim dodajamo nekaj drugih čudovitih lastnosti:

1) V pravokotnem trikotniku s koti 90º, 30º in 60º nogami b, ki leži nasproti kota 30º, je enako polovica hipotenuze. Nogaa več nogb√3-krat (slika 15 A). Na primer, če je krak b 5, potem je hipotenuza c nujno enaka 10, in noga A je enako 5√3. 2) V pravokotnem enakokrakem trikotniku s koti 90º, 45º in 45º je hipotenuza √2-krat večja od kraka (slika 15). b). Na primer, če je kateta 5, potem je hipotenuza 5√2. 3) Srednja črta trikotnika je enaka polovici vzporedne strani (slika 15). z). Na primer, če je stranica trikotnika 10, potem je srednja črta, vzporedna z njo, 5. 4) V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena na hipotenuzo, enaka polovici hipotenuze (slika 9c): m c= s/2. 5) Srednjici trikotnika, ki se sekata v eni točki, deli ta točka v razmerju 2:1. To pomeni, da je segment od oglišča do presečišča median dvakrat večji od segmenta od presečišča median do stranice trikotnika (slika 9c) 6) V pravokotnem trikotniku je sredina hipotenuze središče opisanega kroga (slika 15). d).

Znaki enakosti trikotnikov.

Prvi znak enakosti: če sta dve stranici in kot med njima enega trikotnika enaka dvema stranicama in kotu med njima drugega trikotnika, potem sta takšna trikotnika skladna.

Drugi znak enakosti: če so stranica in njeni sosednji koti enega trikotnika enaki stranici in njenim sosednjim kotom drugega trikotnika, potem sta takšna trikotnika skladna.

Tretji znak enakosti: Če so tri stranice enega trikotnika enake trem stranicam drugega trikotnika, so taki trikotniki skladni.

Neenakost trikotnika.

V katerem koli trikotniku je vsaka stranica manjša od vsote drugih dveh strani.

Pitagorov izrek.

V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov nog:

c 2 = a 2 + b 2 .

Območje trikotnika.

1) Površina trikotnika je enaka polovici zmnožka njegove strani in nadmorske višine, narisane na to stran:

ah
S = ——
2

2) Površina trikotnika je enaka polovici produkta katerih koli dveh njegovih stranic in sinusa kota med njima:

1
S = — AB · A.C. · greh A
2

Trikotnik, obkrožen okrog kroga.

Krog se imenuje vpisan v trikotnik, če se dotika vseh njegovih strani (slika 16 A).

Trikotnik, včrtan v krog.

Za trikotnik pravimo, da je vpisan v krog, če se ga dotika z vsemi oglišči (slika 17). a).

Sinus, kosinus, tangens, kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika (slika 18).

Sinus ostri kot x nasprotje krak na hipotenuzo.
Označuje se takole: grehx.

Kosinus ostri kot x pravokotnega trikotnika je razmerje sosednji krak na hipotenuzo.
Označeno kot sledi: cos x.

Tangenta ostri kot x- to je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.
Označen je na naslednji način: tgx.

Kotangens ostri kot x- to je razmerje med sosednjo in nasprotno stranjo.
Označen je na naslednji način: ctgx.

Pravila:

Noga nasproti vogala x, je enako produktu hipotenuze in sin x:

b = c greh x

Noga ob vogalu x, je enak produktu hipotenuze in cos x:

a = c cos x

Noga nasproti vogala x, je enak zmnožku drugega kraka s tg x:

b = a tg x

Noga ob vogalu x, je enak zmnožku drugega kraka s ctg x:

a = b· ctg x.

Za vsak oster kot x:

greh (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = greh x

Lastnosti

• Višini trikotnika se sekata v eni točki, imenovani ortocenter. - To trditev je enostavno dokazati z uporabo vektorske identitete, ki velja za vse točke A, B, C, E, ne nujno niti za tiste, ki ležijo v isti ravnini:

(Za dokaz identitete morate uporabiti formule

Točko E je treba vzeti kot presečišče dveh nadmorskih višin trikotnika.)

• V pravokotnem trikotniku višina, potegnjena iz vrha pravega kota, razdeli na dva trikotnika, podobna prvotnemu.
• V ostrokotnem trikotniku njegovi dve nadmorski višini odrežeta podobne trikotnike od njega.
• Osnovice višin tvorijo tako imenovani ortotrikotnik, ki ima svoje lastnosti.

Najmanjša nadmorska višina trikotnika ima številne ekstremne lastnosti. Na primer:

• Najmanjša pravokotna projekcija trikotnika na premice, ki ležijo v ravnini trikotnika, ima dolžino, ki je enaka najmanjši njegovi nadmorski višini.

• Najmanjši ravni rez v ravnini, skozi katerega je mogoče potegniti togo trikotno ploščo, mora imeti dolžino, ki je enaka najmanjši izmed višin te plošče.

• Pri neprekinjenem gibanju dveh točk vzdolž oboda trikotnika ena proti drugi največja razdalja med njima med premikanjem od prvega srečanja do drugega ne more biti manjša od dolžine najmanjše višine trikotnika.

Najmanjša višina v trikotniku vedno leži znotraj tega trikotnika.

Osnovna razmerja

kjer je območje trikotnika, je dolžina stranice trikotnika, za katero se višina zniža.

kje je baza.

Izrek o višini pravokotnega trikotnika

Če višina dolžine h, potegnjena iz oglišča pravega kota, deli hipotenuzo dolžine c na segmenta m in n, ki ustrezata b in a, potem veljajo naslednje enakosti:

Mnemonična pesem

Višina je kot mačka, ki upogne hrbet in pod pravim kotom povezuje vrh in stran z repom.

Poglej tudi

Povezave

Fundacija Wikimedia. 2010.

Oglejte si, kaj je "višina trikotnika" v drugih slovarjih:

VIŠINA, višine, mn. višine, višine, ženske 1. samo enote Razširitev od spodaj navzgor, viš. Višina hiše. Stolp velike višine. || (mn. samo posebno znanstveno). Razdalja od zemeljske površine, merjena vzdolž navpične črte od spodaj navzgor. Letalo je letelo ... Razlagalni slovar Ušakova

Ta izraz ima druge pomene, glejte Višina (pomeni). Višina v elementarni geometriji je pravokotni segment, spuščen od vrha geometrijske figure (na primer trikotnika, piramide, stožca) do njene osnove ali do ... ... Wikipedia

višina- ы/; pl. višina/vi; in. Poglej tudi visok, visok 1) Velikost, dolžina česa. od spodaj navzgor, od spodaj navzgor. Višina hiše, drevesa, gore. Višina/valovi. Jez je visok sto pet metrov ... Slovar številnih izrazov

Y; pl. višine; in. 1. Velikost, dolžina nečesa. od spodaj navzgor, od spodaj navzgor. V. hiše, drevesa, gore. V. valovi. Jez je visok sto petdeset metrov. Izmeriti, določiti višino česa. 2. Oddaljenost od katere l. površje do..... enciklopedični slovar

višina prvotnega navojnega trikotnika- (H) Razdalja med vrhom in bazo prvotnega navojnega trikotnika v smeri, ki je pravokotna na os navoja. [GOST 11708 82 (ST SEV 2631 80)] Teme standarda o medsebojni zamenljivosti Splošni izrazi osnovni elementi in parametri navojev EN ... ... Priročnik za tehnične prevajalce

Višina je dimenzija ali razdalja v navpični smeri. Drugi pomeni: V astronomiji: Višina svetila je kot med ravnino matematičnega obzorja in smerjo proti svetilu. V vojaških zadevah: Višina je nadmorska višina reliefa. V... ... Wikipediji

VIŠINA, v geometriji pravokoten odsek, ki se spušča od vrha geometrijskega lika (npr. trikotnika, piramide, stožca) do njegovega vznožja (ali nadaljevanja podnožja), kot tudi dolžina tega odseka. Višina prizme, valja, sferične plasti in ... ... enciklopedični slovar

V geometriji pravokoten segment, narisan od vrha geometrijskega lika (npr. trikotnika, piramide, stožca) do njegovega vznožja (ali nadaljevanja baze), kot tudi dolžina tega segmenta. Višina prizme, valja, sferične plasti, kot tudi ... ... Veliki enciklopedični slovar

VIŠINA, s, množina. od, od, od, žene. 1. Velikost, dolžina nečesa. od spodnje točke do vrha. B. zidanje. V. deskanje. V. ciklon. 2. Prostor, oddaljenost od tal navzgor. Poglej gor. Letalo pridobiva višino. Poleti v..... Razlagalni slovar Ozhegov

Višina v geometriji, pravokotni odsek, ki se spusti od vrha geometrijske figure (na primer trikotnika, piramide, stožca) do njegovega vznožja ali nadaljevanja podnožja, pa tudi dolžina tega odseka. B. prizma, valj, sferična plast,... ... Velika sovjetska enciklopedija

Pri reševanju različnih vrst problemov, tako čisto matematične kot uporabne narave (zlasti v gradbeništvu), je pogosto treba določiti vrednost višine določene geometrijske figure. Kako izračunati to vrednost (višino) v trikotniku?

Če združimo 3 točke v parih, ki se ne nahajajo na eni črti, bo nastala figura trikotnik. Višina je del premice iz katerega koli vrha figure, ki v sekanju z nasprotno stranjo tvori kot 90°.

Poiščite višino razgibanega trikotnika

Določimo vrednost višine trikotnika v primeru, ko ima lik poljubne kote in stranice.

Heronova formula

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, kjer je

p – polovica obsega figure, h(a) – odsek strani a, narisan pravokotno nanjo,

p=(a+b+c)/2 – izračun polobodja.

Če obstaja območje figure, lahko uporabite razmerje h(a)=2S/a, da določite njegovo višino.

Trigonometrične funkcije

Za določitev dolžine segmenta, ki pri sekanju s stranico a tvori pravi kot, lahko uporabite naslednje relacije: če sta znana stranica b in kot γ ali stranica c in kot β, potem je h(a)=b*sinγ oz. h(a)=c *sinβ.
Kje:
γ – kot med stranicama b in a,
β je kot med stranicama c in a.

Odnos s polmerom

Če je prvotni trikotnik vpisan v krog, lahko za določitev višine uporabite polmer takšnega kroga. Njegovo središče se nahaja na točki, kjer se sekajo vse 3 višine (iz vsakega oglišča) - ortocenter, razdalja od njega do oglišča (poljubnega) pa je polmer.

Potem je h(a)=bc/2R, kjer je:
b, c – 2 drugi stranici trikotnika,
R je polmer kroga, ki obdaja trikotnik.

Poiščite višino pravokotnega trikotnika

Pri tej vrsti geometrijske figure 2 strani, ko se sekata, tvorita pravi kot - 90°. Torej, če želite v njem določiti vrednost višine, morate izračunati bodisi velikost ene od nog bodisi velikost segmenta, ki tvori 90 ° s hipotenuzo. Pri imenovanju:
a, b – noge,
c – hipotenuza,
h(c) – pravokotna na hipotenuzo.
Potrebne izračune lahko naredite z naslednjimi razmerji:

• Pitagorov izrek:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, ker S=ab/2, potem je h(c)=ab/c.

• Trigonometrične funkcije:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Poiščite višino enakokrakega trikotnika

Ta geometrijska figura se odlikuje po prisotnosti dveh strani enake velikosti in tretje - osnove. Za določitev višine, narisane na tretjo, ločeno stran, priskoči na pomoč Pitagorov izrek. Z zapisom
a – stran,
c – osnova,
h(c) je odsek za c pod kotom 90°, potem je h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).